ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات )

جبران جمول 8/7/2009, 7:45 pm

ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات )

نبتة كوخ الثلجية متكررة هندسية تتكون من إضافة مثلثات صغيرة إلى مثلث كبير الجوانب. المتكررة الهندسية شكل هندسي معقَّد يتألف من أنماط تكرر نفسها بأحجام أصغر فأصغر. تسمى عملية تكرار الأنماط لنفسها التشابه الذاتي وهي خاصية مهمة من خواص المتكررة الهندسية. ويقال عن شكل هندسي إن له خاصية التشابه الذاتي عندما يكون شكل أحد تركيباته الصغرى مشابهًا لتركيباته الكبرى، وهذه البنية الكبرى مشابهة بدورها لبنية أكبر منها، وهكذا دواليك.

تمثل المتكررة الهندسية معادلات رياضية. ويهتم العلماء بحقيقة أن هذه المعادلات البسيطة تؤدي إلى تكوين هذه الأشكال المعقَّدة. ساعدت المتكررة الهندسية العلماء على إيضاح السمات النظامية المستبطنة لعدة عمليات في الطبيعة. ومن الأمثلة الطبيعية على المتكررة الهندسية نبات السرخس، إذ تتألف كل نبتة من أوراق لها شكل النبتة نفسها، وتتألف كل ورقة بدورها من أوراق أصغر لها شكل نبتة السرخس نفسها. وهناك الكثير من النباتات الأخرى لها شكل المتكررة الهندسية مثل القنبيط والبَرْكولي. كما أن شكل الأوعية الدموية للقلب هو أيضًا متكررة هندسية، إذ تتفرع الأوعية الكبيرة إلى أوعية أصغر، وهذه الأوعية الأصغر تتفرع بدورها إلى أوعية أصغر فأصغر.

أنماط معقدة من متكررة هندسية تنـتج عن أشكال تكرر نفسها إلى مالا نهاية بأحجام أصغر فأصغر. أنتج هذه الصورة الملونة حاسوب متطور.

وهناك نوعان من المتكررات الهندسية: المتكررة الهندسية المنتظمة، والمتكررة الهندسية العشوائية. تتألف المتكررة الهندسية المنتظمة من تراكيب صغيرة وكبيرة تكوِّن، باستثناء الحجم، نسخة دقيقة. فعلى سبيل المثال تتألف المتكررة النظامية الهندسية المعروفة بنبتة كوخ الثلجية في مجملها من مثلثات صغيرة تترتَّب على جوانب مثلثات أكبر منها.

أمَّا المتكررة العشوائية، فتكون التراكيب الصغيرة والتراكيب الكبيرة فيها متقاربة رياضيًا، لكنها قد تختلف في التفاصيل. وتُمثِّل كثيرٌ من المتكررات العشوائية أنماطًا غير نظامية موجودة في الطبيعة. فعلى سبيل المثال يمكن تمثيل الخطوط الساحلية، والجبال، والغيوم بمتكررة هندسية عشوائية. وكثير من الظواهر متكررات هندسية في الطبيعة. فالحركة البراونية مثلاً ـ وهي الحركة العشوائية لجسيم معلَّق في الماء ـ يمكن تمثيلها بمتكررة عشوائية. ومن الأمثلة الأخرى على المتكررة العشوائية نمو النباتات، ومسارات البرق، والتلامس اللزج (انتشار سائل في سائل آخر غير قابل للذوبان فيه)، مثل الزيت في الماء.

قام عالما الرياضيات الألمانيان جورج كانتور، وكارل فايرستراس خلال القرن التاسع عشر الميلادي بفحص مجموعات من المنحنيات لها خواص التشابه الذاتي. غير أن هذا العمل ظل لعدة سنوات يجد القليل من الاهتمام. ثم تجدد الاهتمام به في الستينيات من القرن العشرين، وخاصة العمل الذي قام به بينويت ماندلبروت، وهو عالم رياضيات بولندي المولد، استوطن في الولايات المتحدة عام 1958م. ابتكر ماندلبروت مصطلح المتكررة الهندسية (Fractal) عام 1975م. وقد اشتُق المصطلح من كلمة لاتينية تدل على حجر مكسور ذي سطح غير منتظم. ثم صار ماندلبروت مهتمًا بالموضوع خلال قيامه بدراسة الخط الساحلي البريطاني.

درس علماء الرياضيات الدوال الرياضية التي تشكل تمثيلاتها البيانية متكررات هندسية. ومن أشهر هذه الدوال مجموعة ماندلبروت التي مازال ماندلبروت وآخرون يدرسونها منذ أواخر سبعينيات القرن العشرين. ويستخدم العلماء الحاسوب في تمثيلاتها البيانية لأنها تحتاج عددًا كبيرًا من الحسابات. وتشكل المجموعة مكتملة، نمطًا معقدًا يعرف بـلطخة الحبر. ويستطيع الحاسوب أن يكبر مقاطع من مجموعة ماندلبروت بتمثيلها فوق حدود تتصاغر باستمرار، مظهرًا سلسلة لا نهاية لها من الأنماط المتكررة.

* نبذة عن مجموعة ماندلبروت Mandelbrot set

إحدى الأشكال الكسيرية المشهورة بشكل واسع حتى خارج مجال علماء الرياضيات لتداخلها مع ما يدعى الفن الكسيري حيث تعمد لتقديم صور فنية تتميز بالجمال و التجريدية . ما يميز مجموعة ماندلبروت هو البنية المعقدة التي تقدمها رغم بساطة تعريفها .

لمجموعة ماندلبروت مكانتها حاليا في دراسة الديناميك العقدي complex dynamics الحقل الذي اهتم به الرياضياتي الفرنسي بيير فاتو Pierre Fatou و جاستون جوليا Gaston Julia في بداية القرن العشرين . أول صور مجموعة ماندلبروت قام برسمها كل من بروكز و ماتيلسكي كجزء من دراستهم لزمرة كلاينيان Kleinian group

قام ماندلبروت لاحقا بدراسة فضاء البارمترات لعديات الحدود التربيعية في مقالة ظهرت عام 1980 . لكن الدراسة الرياضية الحقيقية لمجموعة ماندلبروت بدأت مع عمل كل من أدريان دوادي Adrien Douady و جون ه. هوبارد John H. Hubbard اللذان قاما بتأسيس و إيضاح العديد من خواص M ، وأسمياها مجموعة ماندلبروت .

هندسة كسيرية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D8%A9_%D9%83%D8%B3%D9%8A%D8%B1%D9%8A%D8%A9

مجموعة ماندلبروت, التي سميت على اسم مكتشفها ، هي أهم مثال عن البنى الكسيرية

تدرس الهندسة الكسيرية أو الهندسة الفركتلية Fractal Geometry البنى الهندسية المؤلفة من ( كسيريات ) و هو مجموع كسيرية Fractals التي يمكن تعريفها بانه جزء هندسي صغير جدا غير منتظم ذو أبعاد لامتناهية بالصغر ، يمكن أن يتألف من أجزاء متشابهة مؤلفة بدورها من أجزاء متشابهة مشابهة للجزء الأم .

الكسيرية إذا يمكن تعريفها على أنها كائن هندسي خشن غير منتظم على كافة المستويات ، و يمكن تمثيلها بعملية كسر شيء ما إلى أجزاء أصغر لكن هذه الأجزاء تشابه الجسم الأصلي . تحمل الكسيرية في طياتها ملامح مفهوم اللانهاية و تتميز بخاصية التشابه الذاتي أي أن مكوناتها مشابهة للكسيرية الأم مهما كانت درجة التكبير . غالبا ما يتم تشكيل الأجسام الكسيرية عن طريق عمليات أو خوارزميات متكررة : مثل العمليات التراجعية recursive أو التكرارية iterative .

مصطلح كسيرية fractal تمت صياغته من قبل بينويت ماندلبروت ، من اللاتينية fractus بمعنى مكسور "broken". قبل هذا المصطلح كان الاسم الشائع لهذه البنى هو ندف ثلج كوخ Koch snowflake . تقوم الهندسة الكسيرية عادة بدراسة البنى المؤلفة من كسيريات و تصف العديد من الأوضاع و البنى التي لا يمكن تفسيرها أو دراستها بالهندسة الرياضية الكلاسيكية, إضافة لذلك تمتلك الهندسة الكسيرية تطبيقات عديدة في العلوم و التكنولوجيا و الفنون الحاسوبية .

مخطط ندفة الثلج لكوخ

الكسيرية أو الفركتل كائن هندسي يتصف بالخشونة وعدم الانتظام على كل المقاييس، ولهذا يبدو في جوهره وكأنه 'مكسور' . ببساطة، يمكن تعريف الفركتلات على أنها صور مقسمة إلى أجزاء، كل منها يبدو مماثلاً للأصل. تحتوي الفركتلات في طياتها معنى اللانهاية، ويبدي بعضها بنية تتصف بالتشابه الذاتي على كل المقاييس، ومختلف مستويات التكبير. في معظم الحالات، يمكن توليد الفركتل من خلال تكرار معين، يتم ذلك عبر إجراء تعاودي أو تكراري. تمت صياغة مصطلح الفركتل fractal عام 1975 من قبل بينويت ماندلبروت، وذلك انطلاقاً من الكلمة اللاتينية fractus والتي 'مكسور'، قبل أن يقوم ماندلبروت بصياغة هذا المصطلح، كان الاسم الشائع لهذه البنى (كندف ثلج كوخ مثلاً) هو المنحني الغريب monster curve.

تمت دراسة العديد من أنواع الكسيريات (الفركتلات) على أنها كائنات رياضية ، تشكل الهندسة الفركتلية فرعاً من الرياضيات يختص بدراسة سلوك وخصائص الفركتلات، تصف الهندسة الفركتلية أيضاً الكثير من الحالات التي يستعصي وصفها على الهندسة الكلاسيكية، وغالباً ما تطبق في حقول العلوم والتكنولوجيا والفنون المولدة حاسوبياً، إن تتبع الجذور المفاهيمية للفركتلات يقودنا إلى محاولات سابقة لقياس أغراض عجزت التعاريف التقليدية للهندسة الإقليدية والحساب الإقليدي عن شرحها.

تاريخ الكسيريات

إسهامات التحليل الكلاسيكيلقد اكتشفت الأغراض المسماة حالياً فركتلات ودُرست قبل زمن بعيد من إطلاق هذه التسيمة عليها، فإشارة ماندلبروت ذاته إلى فكرة (التشابه الذاتي التعاودي) تعد تطويراً قام به الفيلسوف ليبنز الذي تعمق في دراسة تفاصيل هذه الأغراض، عام 1872، أوجد كارل فايرستراس مثالاُ لدالة ذات خاصة غريبة، ذلك أنها تستمر في كل مكان ولا يمكن تمييزها في أي مكان، إن

جبران جمول 8/7/2009, 7:47 pm

مخطط هذه الدالة يدعى حالياً فركتل، عام 1904، اختلف هيلغي فان كوخ مع التعريف التحليلي المجرد لفايرستراس، وقدم تعريفاً ذو مضمون هندسي أكثر لدالة مشابهة تدعى حالياً ندفة ثلج كوخ. إن فكرة المنحنيات ذات التشابه الذاتي طورت من قبل باول بيير ليفي والذي شرح عام 1938 في ورقة بحثه (السطوح والمنحنيات المستوية أو الفراغية التي تشكل أجزاءً مشابهة للأصل) منحنى فركتلي جديد يدعى فركتل ليفي. كما قدم جورج كانتور أمثلة لمجموعات جزئية من الخط الحقيقي تتصف بصفات غير طبيعية -إن مجموعات كانتور هذه تصنف حالياً على أنها فركتلات. تمت دراسة التوابع التكرارية في المستويات المعقدة في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين من قبل هنري بوينكاري، فيليكس كلاين، بيير فاتو و جاستن جوليا، لسوء الحظ، فإن انعدام التقنيات المرئية الحاسوبية الشائعة حالياً في ذلك الوقت، حرم أولئك الأشخاص من إدراك المعنى الجمالي المرئي للعديد من الأغراض التي اكتشفوها.

مفاهيم لتوضيح مجموعة الكسيريات

في محاولة جادة لفهم أغراض معينة كمجموعات كانتور، عمد الرياضيون ككونسستانتين كاراثيودوري و فيليكس هاوسدورف إلى تعميم المفهوم الحدسي للبعد بحيث يتضمن قيماً غير صحيحة، كانت هذه الخطوة جزءاً من توجه ساد في بدايات القرن العشرين بهدف تكوين نظرية وصفية للمجموعة، وكان هذا إتماماً لأبحاث كانتور والتي كانت قادرة إلى حد ما على تصنيف مجموعات من النقاط في فضاء إقليدي. إن تعريف بعد هاوسدروف ذو طبيعة هندسية، ولو أنه شُكل تقنياً باستخدام أدوات من التحليل الرياضي. عمل بيزيكوفيتش في هذا الاتجاه على غرار الآخرين، وقد اختلف في مضمونه عن التحريات المنطقية التي بُني على أساسها القسم الأعظم من النظرية الوصفية للمجموعة على عشرينيات وثلاثينات القرن العشرين، وقد تمت متابعة الأبحاث لاحقاً في هذا المجال، ولكن من قبل المختصين حصراً.

إسهامات ماندلبروت في الستينيات

عمل بينويت ماندلبروت على استقصاء التشابه الذاتي، تجلى ذلك في بضعة أوراق نشرها مثل (كم طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الفركتلي)، وقد بنى عمله على الأعمال السابقة للويس فراي ريتشاردسن. تمكن ماندلبروت من اكتشاف صلات قوية بين نتائج رياضية لطالما اعتبرت أنها لا مترابطة سابقاً بفضل اعتماده وبشكل كبير على مقاربة مرئية. عام 1975، صاغ ماندلبروت كلمة كسيرية أو 'فركتل' 'fractal' للدلالة على أغراض ذات تشابه ذاتي، لا تمتلك بعداً محدداً. لقد اشتق كلمة فركتل من الكلمة اللاتينية fractus والتي تعني 'مكسور' أو 'غير نظامي'، وليس من كلمة fractional والتي تعني كسري كما يظن الكثيرون، مع العلم أن هذه الأخيرة يعتقد أنها مشتقة أيضاً من كلمة fractus اللاتينية. لدى استخدام المرئيات الحاسوبية في مجال الهندسة الكسيرية، ظهرت براهين مرئية سرعان ما ربطت العديد من مجالات الرياضيات والعلوم بشكل غير مسبوق، تحديداً في حقول الديناميكية اللاخطية ، نظرية الشواش (علماً أن البعض يفضل استخدام المصطلح xaos عوضاً عن السايقة وذلك بهدف التمييز بين السلوك اللاخطي والمعنى المتداول للكلمة) و التعقيد. فعلى سبيل المثال، أظهر رسم خوارزمية نيوتن بشكل فركتلي أن الحدود بين الحلول المختلفة هي ذات طبيعة فركتلية، كما أظهرت أن الحلو بحد ذاتها هي جواذب غريبة. تستخدم الهندسة الفركتلية أيضاً في مجال ضغط البيانات ونمذجة الأنظمة الجيولوجية والعضوية المعقدة، يعد نمو الأشجار وتظور أحواض الأنهار أمثلة واضحة على ذلك. وسع هاريسون الحساب النيوتوني بشكل يتضمن المجالات الفركتلية، بما فيها نظريات غاوص ، غرين و ستوكس.

البعد الكسيري لحد ندفة ثلج كوخ

إن الطول الكلي لعدد ما N بالنسبة لمجموعة من الخطوات L هو الجداء NL، بتطبيق ذلك على حد ندفة ثلج كوخ سنحصل على طول لانهائي للحد ذلك أن L لامتناهية في الصغر، إن هذا غير مقبول، فكما أن ندف ثلج كوخ المختلفة لها قياسات مختلفة، فإن الحل هو بالقياس، ليس بالمتر ولا بالمتر المربع، بل باستخدام واحدة المتر مرفوعة إلى قوة على الشكل m2. وبالتالي: 4N(L/3)x = NLx ، نفسر العلاقة السابقة بأن تصغير طول الخطوة لثلاثة أمثال يتطلب أربعة أمثال عدد الخطوات، إن حل المعادلة السابقة يعطي x = (log 4)/(log 3) = 1.26186. وبالتالي فإن واحدة قياس حد ندفة ثلج كوخ هي m1.26186,

تعاريف

لعل أكثر خواص الكسيريات (الفركتلات) إثارة هي لانظاميتها بشكل عام من حيث الشكل. ولهذا فهي ليست نمطاً من الأغراض القابلة للتعريف بالهندسة التقليدية، إن هذا يعني أن الفركتلات تنحو باتجاه إعطاء تفاصيل مرئية جديدة باستخدام المقاييس المختلفة، ففي حالة التشابه الذاتي، عند تكبير الفركتلات نحصل على صور مماثلة للأصل وغالباً ما تعرف مجموعات كهذه تعاودياً. إن أي شكل إقليدي كالدائرة على سبيل المثال، يبدو أكثر تسطحاً بزيادة التكبير، وعندما يصبح التكبير لانهائياً يصبح من المستحيل التمييز فيما إذا كان أصل الشكل دائرة أو خط مستقيم، تنعدم هذه الخاصة في الفركتلات. فالفكرة التقليدية للمنحني والتي تبين تغير نصف قطر الدائرة بالتقريب يصبح من المستحيل اعتمادها لغياب التقييس، في حين أن زيادة تكبير الفركتلات يظهر تفاصيل أكثر وأكثر كانت غائبة سابقاً. مثلما تظهر العديد من الصفات المميزة الخاصة بالفركتلات، يتعذر بشكل ملحوظ إجمالها في تعريف رياضي صريح ودقيق، لقد عرف ماندلبروت الفركتل على أنه "مجموعة يتجاوز فيها بعد هاوسندروف بعدها اللاكمي". فمن أجل شكل فركتلي ذو تشابه ذاتي، فإن بعد هاسندروف يساوي إلى بعد مينكوفسكي بوليجاند .

من المشاكل التي تخص تعريف الكسيريات (الفركتلات):

• لا يوجد تعريف دقيق لعبارة "شديد اللانظامية".

• لا يوجد تعريف دقيق للـ "بعد".

• توجد العديد من الطرق التي يمكن من خلالها تعريف كائنات ذات تشابه ذاتي.

• ليست كل الفركتلات معرفة بشكل تعاودي.

أصناف الكسيريات

حتى لدى تكبير مجموعة ماندلبروت لألفي ضعف، تظهر تفاصيل جديدة تكون صوراً مشابهة للصورة الأصلية

يمكن تصنيف الكسيريات في ثلاث مجموعات رئيسية . تصنف هذه المجموعات الفركتلات اعتماداً على طرق توليدها أو تعريفها:

• أنظمة الوظائف التكرارية — تحتوي هذه المجموعة على قاعدة استبدال هندسي واضحة لكل فركتل أمثلة عليها. مجموعة كانتور,

سجادة سربنسكي, حشية سربنسكي, منحني بينو, ندفة ثلج كوخ, منحني التنين هارتر هايواي, المربع تي, اسفنجة مينجر .• كسيريات الانفلات الوقتي — تعرف الفركتلات في هذه المجموعة عبر علاقة تكرارية من أجل كل نقطة في الفراغ (كما في المستويات المعقدة) أمثلة على ذلك مجموعة ماندلبروت and the فركتل ليابونوف.

• الكسيريات العشوائية تولد من خلال إجراءات مختارة بشكل عشوائي بدلاً من أن تكون محددة، أمثلة على ذلكالمناظر الفركتلية و رحلة ليفي.

يمكن تصنيف الكسيريات أيضاً اعتماداً على تشابهها الذاتي. توجد ثلاثة أنواع للتشابه الذاتي في الكسيريات:

• تشابه ذاتي متطابق — يعد أقوى أنواع التشابه الذاتي، تبدو الفركتلات ذاتها على أي مقياس تكبير، إن الكسيريات المعرفة باستخدام أنظمة التوابع التكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي متطابق.

• تشابه ذاتي ظاهري — وهو نمط غير محكم من التشابه الذاتي، تبدو الكسيريات متطابقة إلى حد ما (ولكن ليس تماماً) على مقاييس تكبير مختلفة، تحتوي فركتلات التشابه الذاتي الظاهري على نسخ مصغرة من كامل الفركتل ولكن بأشكال منحلة مشوهة، إن الكسيريات المعرفة بعلاقات تكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي ظاهري وليست ذات تشابه ظاهري متطابق.

• التشابه الذاتي الإحصائي — يعد من أضعف أنواع التشابه الذاتي، يبيدي الكسيرية قياسات رقمية أو إحصائية ثابتة على اختلاف مقاييس التكبير. إن أكثر تعاريف الكسيريات بداهة تحتوي في مضمونها شكلاً من أشكال التماثل الظاهري الإحصائي، (البعد الكسيري أو الفركتلي مثلاً هو قياس رقمي محفوظ على اختلاف مقاييس التكبير). إن الفركتلات العشوائية هي أمثلة واضحة على كسيريات التشابه الذاتي الإحصائي، ولكنها ليست ذات تشابه ذاتي متطابق أو ظاهري. من الجدير بالملاحظة أنه ليست كل الأغراض ذات التماثل الذاتي هي فركتلات، فالخط الحقيقي (خط إقليدي متصل) مثلاً ذو تماثل ذاتي تام، إلا أن الادعاء بأن كامل الكائنات الإقليدية هي فركتلات يمثل موقف قلة من الأشخاص، فقد رأى ماندلبروت أن تعريف الكسيرية لا يجب أن يتضمن الكسيريات "الحقيقية" فقط، بل الأغراض الإقليدية الكلاسيكية، فوجود الأعداد الصماء على مستقيم الأعداد يولد

جبران جمول 8/7/2009, 7:50 pm

خصائص معقدة لا متكررة. طالما أن البنية الحبيبية للكسيريات لا متناهية، فمن غير الممكن اعتبار أياً من الأغراض الطبيعية فركتلاً، على كل الأحوال، يمكن أن تبدي الأغراض الطبيعية خصائص مشابهة للفركتلات على عدد محدود من مقاييس التكبير.

أمثلة

مجموعة جوليا, هي فركتل يرتبط إلى حد ما بمجموعة ماندلبروت

تتضمن الأمثلة الشائعة للفركتلات مجموعة ماندلبروت, فركتل ليابونوف, مجموعة كانتور, حشية سربنسكي and سجادة سربنسكي, اسفنجة مينجر, منحني التنين, منحني بينو, والمجموعات المحدودة مجموعة كلاينايان, و منحني كوخ. قد تكون الفركتلات محددة أو مختارة بشكل عشوائي. الأنظمة الديناميكية الشواشية غالباً (إن ليس دائماً) تربط بالفركتلات. تتضمن مجموعة ماندلبروت أقراصاً كاملة ببعد يساوي 2، وهذا ليس مفاجئاً، ذلك أن الذي يفاجئ بشكل كبير هو أن بعد هاوسدروف لحد مجموعة ماندلبروت هو أيضاً 2.

مجموعة أخرى من الأمثلة المماثلة هي مجموعات كانتور، والتي بانتزاع فترات أصغر وأصغر من الفترة [0.1]، تترك مجموعات من الممكن (وقد يكون من غير الممكن) أن تحتوي على بنية تماثل ذاتي لدي تكبيرها، وقد تحتوي (أو لا تحتوي) على بعد d يقع بين 0 و 1. كتطبيق بسيط يظهر الترابط بين المفهومين، انتزاع الرقم 7 من الامتدادات العشرية يتصف بالتشابه الذاتي لدى تكبير انطوائي بمقدار العشرة، ولديه أيضاً البعد log9/log10 (تبقى القيمة ذاتها حتى لو قمنا بتغيير قاعدة اللوغاريتم)

فركتل متشكل جراء نزع ورقتين إكريليكيتين مطليتين بالغراء عن بعضهما

تفريغ فولطية عالية في بلوك إكريليكي يخلق فركتل Lichtenberg figure.

فركتل متشكل جراء إضاءة DVD بأمواج ميكروية

رومانيسكو بروكولي يظهر فركتلات طبيعية رائعة

الكسيريات في الطبيعة

من الممكن مصادفة أشباه الفركتلات بكثرة في الطبيعة. تظهر كائنات كهذه بنية معقدة على امتداد تكبير منته. هذه الفركتلات التي تتولد طبيعياً ( الغيوم ، الجبال ، شبكات الأنهار و أنظمة الأوعية الدموية ) لديها حدود دنيا وعليا، ولكنها تتميز عن بعضها بمقاييس تكبير مختلفة. على الرغم من وجود الفركتلات حولنا بكثرة، فإنها لم تدرس بشكل معمق حتى بدايات القرن العشرين، أما التعريفات العمومية لها فجاءت متأخرة قليلاً.

إن الأشجار والسراخس فركتلية بطبيعتها، ويمكن نمذجتها بالحاسب عبر استخدام خوارزميات تعاودية. تبدو الطبيعة العودية واضحة في هذه الأمثلة، ففرع الشجرة أو ورقة من السراخس هي تكرار مصغر للكل: ليس مطابقاً ولكنه مشابه من حيث الطبيعة.

التطبيقات على الهندسة الكسيرية

يمكن وصف الهندسة الكسيرية بانها النظام الحقيقى لكمية هائلة من الانظمة الرياضية المعقدة فى شكل تمثيلى قد تظهر من الوهلة الاولى انها بلا نظامية الا انها الطريقة المثلى لتمثيل هذه البيانات و للكسيريات العشوائية تطبيقات هامة، ذلك أنه من الممكن استخدامها لتوصيف كائنات من العالم الحقيقي شديدة اللانظامية، أمثلة على ذلك الغيوم، الجبال، الاضطرابات، الخطوط الساحلية والأشجار. تطبق التقنيات الفركتلية أيضاً في مجال ضغط الصور الفركتلي، بالإضافة إلى العديد من المجالات العلمية الأخرى.

هنالك العديد من التطبيقات للفركتلات في الحقول التالية:

• تصنيف الشرائح التي تصف تغير مراحل الأمراض في الطب

• ابتكار أنواع جديدة من الـموسيقى

• تخلق أشكال جديدة في مجال الفن

• ضغط الصورة والإشارة

• علم الزلازل

• علم الكون

• تصميم الألعاب الحاسوبية وخاصة فيما يتعلق بالصور الحاسوبية الخاصة بالبيئات العضوية.

غالباً ما تولد الكسيريات باستخدام الحاسب، يوجد عدد كبير من البرامج التي تمكننا من نمذجة الكسيريات كما يمكن لبعضها أن تقوم بتوليدها:

• Fractint (يعمل على مجموعة من منصات التشغيل)

• Sterling Fractal — برنامج توليد فركتلات محسن يخص أنظمة Microsoft Windows من قبل ستيفن فيركسون

• XaoS — برنامج سريع يعمل بالنظام الحقيقي يختص بنمذجة وتكبير الفركتلات (homepage).

• تشعب (رياضيات)

• تأثير الفراشة Butterfly effect

• نظرية الشواش Chaos theory

• تعقيد Complexity

• نظرية تركيبية Constructal theory

• خوارزمية مربع الماس Diamond-square algorithm

• فن كسيري Fractal art

• Fractal landscape

• ميتافيزياء الكسيريات Fractal metaphysics

• انضغاط كسيري Fractal compression

• Graftal

• حركيات لاخطية = ديناميكية لاخطية Non-linear dynamics

• Recursion

• Turbulence

• دالة فايغنباوم Feigenbaum Function

المراجع

• Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0120790610

• Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0470848618

• Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen, and Dietmar Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New Yor

مجموعة ماندلبروت

Initial image of a Mandelbrot set zoom sequence with continuously colored environment.

مجموعة ماندلبروت Mandelbrot set إحدى الأسكال الكسيرية المشهورة بشكل واسع حتى خارج مجال علماء الرياضيات لتداخلها مع ما يدعى الفن الكسيري حيث تعمد لتقديم صور فنية تتميز بالجمال و التجريدية . ما يميز مجموعة ماندلبروت هو البنية المعقدة التي تقدمها رغم بساطة تعريفها . لمجموعة ماندلبروت مكانتها حاليا في دراسة الديناميك العقدي complex dynamics الحقل الذي اهتم به الرياضياتي الفرنسي بيير فاتو Pierre Fatou و جاستون جوليا Gaston Julia

جبران جمول 8/7/2009, 7:52 pm

في بداية القرن العشرين . أول صور مجموعة ماندلبروت قام برسمها كل من بروكز و ماتيلسكي كجزء من دراستهم لزمرة كلاينيان Kleinian group [1]

قام ماندلبروت لاحقا بدراسة فضاء البارمترات لعديات الحدود التربيعية في مقالة ظهرت عام 1980 [2] لكن الدراسة الرياضية الحقيقية لمجموعة ماندلبروت بدأت مع عمل كل من أدريان دوادي Adrien Douady و جون ه. هوبارد John H. Hubbard [3] اللذان قاما بتأسيس و إيضاح العديد من خواص M ، وأسمياها مجموعة ماندلبروت .

جبران جمول 8/7/2009, 8:02 pm

[img]هذا مثال على الكسيريات

ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات ) 58324933

[/img]

ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات )

ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات )

رد: ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات )

رد: ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات )

رد: ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات )

رد: ماندلبروت والهندسة الكسيرية (فركتلات )